Univ.-Prof. Dr.-Ing. Rolf Kindmann
Prüfingenieur für Baustatik
Ruhr-Universität Bochum
Lehrstuhl für Stahl- und Verbundbau
Universitätsstraße 150
44801 Bochum
Dr.-Ing. Matthias Kraus Ruhr-Universität Bochum Lehrstuhl für Stahl- und Verbundbau Universitätsstraße 150 44801 Bochum
Titelbild: Bitterfelder Bogen, Holzweißig bei Bitterfeld, Baujahr 2005/2006
Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über <http://dnb.d-nb.de> abrufbar.
ISBN: 978-3-433-01837-8
© 2007 Ernst & Sohn
Verlag für Architektur und technische Wissenschaften GmbH & Co. KG, Berlin
Alle Rechte, insbesondere die der Übersetzung in andere Sprachen, vorbehalten. Kein Teil dieses Buches darf ohne schriftliche Genehmigung des Verlages in irgend-einer Form – durch Fotokopie, Mikrofilm oder irgendein anderes Verfahren – reproduziert oder in eine von Maschinen, insbesondere von Datenverarbeitungsmaschinen, verwendbare Sprache übertragen oder übersetzt werden.
All rights reserved (including those of translation into other languages). No part of this book may be reproduced in any form – by photoprint, microfilm, or any other means – nor transmitted or translated into a machine language without written permission from the publisher.
Die Wiedergabe von Warenbezeichnungen, Handelsnamen oder sonstigen Kennzeichen in diesem Buch berechtigt nicht zu der Annahme, daß diese von jedermann frei benutzt werden dürfen. Vielmehr kann es sich auch dann um eingetragene Warenzeichen oder sonstige gesetzlich geschützte Kennzeichen handeln, wenn sie als solche nicht eigens markiert sind.
Umschlaggestaltung: blotto, Berlin
Druck: Strauss GmbH, Mörlenbach
Bindung: Litges & Dopf GmbH, Heppenheim
Printed in Germany
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung und Übersicht
1.1 Erforderliche Nachweise und Nachweisverfahren
1.2 Verfahren zur Schnittgrößenermittlung
1.3 Elementtypen und Anwendungsbereiche
1.4 Lineare und nichtlineare Berechnungen
1.5 Bezeichnungen und Annahmen
1.6 Grundlegende Beziehungen
1.7 EDV-Programme
2 Grundlagen der FEM
2.1 Allgemeines
2.2 Grundideen und Methodik
2.3 Ablauf der Berechnungen
2.4 Gleichgewicht
2.5 Ansatzfunktionen für die Verformungen
3 FEM für lineare Berechnungen von Stabtragwerken
3.1 Vorbemerkungen
3.2 Stabelemente für lineare Berechnungen
3.3 Knotengleichgewicht im globalen Koordinatensystem
3.4 Bezugssysteme und Transformationen
3.5 Gleichungssystem
3.6 Berechnung der Verformungsgrößen
3.7 Ermittlung der Schnittgrößen
3.8 Ermittlung der Auflagerreaktionen
3.9 Einwirkungen/Lastgrößen
3.10 Federn und Schubfelder
3.11 Gelenke und Gelenkfedern
3.12 Einflusslinien
3.13 Übertragungsmatrizenverfahren
3.14 Schubweiche Stabelemente
4 FEM für nichtlineare Berechnungen von Stabtragwerken
4.1 Allgemeines
4.2 Gleichgewicht am verformten System
4.3 Ergänzung der virtuellen Arbeit
4.4 Knotengleichgewicht unter Berücksichtigung von Verformungen
4.5 Geometrische Steifigkeitsmatrix
4.6 Sonderfall: Biegung mit Druck- bzw. Zugnormalkraft
4.7 Vorverformungen und geom. Ersatzimperfektionen
4.8 Berechnungen nach Theorie II. Ordnung und Nachweisschnittgrößen
4.9 Stabilitätsuntersuchungen/Verzweigungslasten
4.10 Eigenformen/Knickbiegelinien
4.11 Fließgelenktheorie
4.12 Fließzonentheorie
5 Anwendungsbeispiele für Stabtragwerke
5.1 Übersicht
5.2 Träger
5.3 Stützen und andere Druckstäbe
5.4 Fachwerke
5.5 Rahmen und Stabwerke
5.6 Trägerroste
6 FEM für ebene Flächentragwerke
6.1 Scheiben und Platten
6.2 Spannungen und Schnittgrößen
6.3 Verschiebungsgrößen
6.4 Grundlegende Beziehungen
6.5 Prinzip der virtuellen Arbeit
6.6 Scheiben und Platten im Stahlbau
6.7 Steifigkeitsmatrix für ein Plattenelement
6.8 Geometrische Steifigkeitsmatrix für das Plattenbeulen
6.9 Längs- und querausgesteifte Platten
6.10 Nachweise beim Plattenbeulen
6.11 Ermittlung von Beulwerten und -flächen mit der FEM
6.12 Anwendungsbeispiele zum Plattenbeulen
7 FEM für Stabquerschnitte
7.1 Aufgabenstellungen
7.2 Normierte Bezugssysteme und Querschnittskennwerte
7.3 Prinzip der virtuellen Arbeit
7.4 Eindimensionale Elemente für dünnwandige Querschnitte
7.5 Zweidimensionale Elemente für dickwandige Querschnitte
7.6 Berechnungsablauf
7.7 Anwendungsbeispiele
8 Gleichungssysteme
8.1 Problemstellung
8.2 Lösungsverfahren
8.3 Gaußscher Algorithmus
8.4 Cholesky-Verfahren
8.5 Gaucho-Verfahren
8.6 Berechnungsbeispiel
8.7 Ergänzende Hinweise
9 Lösung von Eigenwertproblemen
9.1 Problemstellung
9.2 Erläuterungen zum Verständnis
9.3 Matrizenzerlegungsverfahren
9.4 Inverse Vektoriteration
9.5 Kombination der Lösungsverfahren
Literaturverzeichnis
Sachverzeichnis
1
Einleitung und Übersicht
1.1 Erforderliche Nachweise und Nachweisverfahren
Für Tragwerke des Bauwesens ist die Trag- und Lagesicherheit sowie die Gebrauchstauglichkeit nachzuweisen, siehe z. B. DIN 18800 Teil 1. Da die Bauteile im Stahlbau in der Regel schlank und dünnwandig sind, haben Tragsicherheitsnachweise für stabilitätsgefährdete Konstruktionen bezüglich Biegeknicken, Biegedrillknicken und Plattenbeulen große Bedeutung und bilden daher einen wichtigen Schwerpunkt in statischen Berechnungen. In diesem Zusammenhang ist die Ermittlung von Schnittgrößen, Verformungen und Verzweigungslasten eine zentrale Aufgabe, deren Lösung in dem vorliegenden Buch mit Hilfe der Finiten-Elemente-Methode (FEM) behandelt wird.
Die Berechnungen und Nachweise müssen die gesetzlichen Anforderungen erfüllen und dem Stand der Technik entsprechen. Für Stahlkonstruktionen sind die Grundnorm DIN 18800 und die entsprechenden Fachnormen bzw. der Eurocode 3 zu beachten. Tabelle 1.1 enthält eine Zusammenstellung der Nachweisverfahren nach DIN 18800 und der Nachweise, wie sie üblicherweise geführt werden. Der Eurocode 3 enthält vergleichbare Regelungen.
Die Verwendung eines Nachweisverfahrens setzt voraus, dass die einzelnen Querschnittsteile (Stege und Gurte) die Druckspannungen aufnehmen können, so dass kein Beulen auftritt und eine ausreichende Rotationskapazität vorhanden ist. Hilfen für die Überprüfung der b/t-Verhältnisse finden sich in Profiltabellen, s. z. B. [30]. Sofern nur Längsnormal- und Schubspannungen auftreten, ist 
. Der Nachweis der Vergleichspannung (Nachweisverfahren Elastisch-Elastisch) ist nur erfordaher andere derlich, wenn σ/σR,d und τ/ τ R,d > 0,5 sind. Vollplastische Schnittgrößen für Walzprofile finden sich in den Profiltabellen [30], Interaktionsbedingungen und Nachweise mit dem Teilschnittgrößenverfahren in [30] und [27].
Der Index „d“ bei Sd und Rd in Tabelle 1.1 kennzeichnet, dass die Beanspruchungen mit den Bemessungswerten der Einwirkungen zu berechnen sind und es sich um die Bemessungswerte der Beanspruchbarkeiten handelt. Auf die Berechnung der Beanspruchungen und Beanspruchbarkeiten wird im Abschnitt 1.5 „Lineare und nichtlineare Berechnungen“ näher eingegangen.
1.2 Verfahren zur Schnittgrößenermittlung
Bekanntlich können die Schnittgrößen in statisch bestimmten Systemen mit Hilfe von Gleichgewichtsbedingungen und Schnittprinzipien ermittelt werden. Dies ist bei statisch unbestimmten Systemen nicht möglich und man benötigt daher andere Lösungsverfahren, wie z. B. das Kraftgrößenverfahren, das das klassische Verfahren der Baustatik ist. Es ist für die Handrechnung gut geeignet und sehr anschaulich, da es dem ingenieurmäßigen Verständnis unmittelbar zugänglich ist. Der Nachteil ist jedoch, dass man für die unterschiedlichen baustatischen Systeme stets einen neuen Lösungsansatz entwickeln muss und es darüber hinaus für viele Aufgabenstellungen gänzlich ungeeignet ist.
Bild 1.1 zeigt als Beispiel einen einfach unbestimmten Biegeträger. Beim Kraftgrößenverfahren muss daher eine unbekannte Kraftgröße bestimmt werden. Danach kann der Momentenverlauf unter Verwendung der Gleichgewichtsbedingungen bestimmtwerden. Ausgangspunkt des Verfahrens ist stets die Wahl eines statisch bestimmten Hauptsystems. Da man dabei mehrere Möglichkeiten hat, sind die beiden Systeme in Bild 1.1 ausgewählte Beispiele.
Bei allgemeiner Betrachtung unterscheidet man drei Verfahren für die Schnittgrößenermittlung:
- Kraftgrößenverfahren
- Weggrößenverfahren → FEM
- Übertragungsmatrizenverfahren → FEM
Darüber hinaus gibt es zu den drei Verfahren noch zahlreiche Varianten, auf die hier nicht näher eingegangen werden soll. Während beim Kraftgrößenverfahren die Kraftgrößen die Unbekannten des entstehenden Gleichungssystems sind, sind es beim Weggrößenverfahren die Weggrößen, d. h. die Verschiebungen und Verdrehungen, weshalb es auch Verformungsgrößenverfahren genannt wird. Wenn man die baustatischen Systeme in Finite Elemente (z. B. Stabelemente bzw. -abschnitte) einteilt, ist das Weggrößenverfahren in hervorragender Weise für eine verallgemeinerte Formulierung geeignet und daher universell in einem weiten Anwendungsbereich einsetzbar. Ingenieurmäßig anschaulich ist es nicht und es ist stark mathematisch-mechanisch ausgerichtet, weil große Datenmengen zu verarbeiten und große Gleichungssysteme zu lösen sind. Dies hängt natürlich vom statischen System und der FE-Modellierung ab und ist hier daher im Vergleich zum Kraftgrößenverfahren gemeint.
Bild 1.1 zeigt beispielhaft die Anwendung des Weggrößenverfahrens. Unbekannte Größen sind bei diesem Verfahren die Verformungsgrößen in den Knoten, d. h. beim untersuchten Biegeträger die Verschiebung w und die Verdrehung φ. Pro Knoten treten also zwei Unbekannte auf. Für das Beispiel ergeben sich dann unter Berücksichtigung der geometrischen Randbedingungen eine bzw. 19 Unbekannte. Bei der FE-Modellierung mit zehn Elementen treten relativ viele Unbekannte auf (19). Vorteilhaft ist dabei aber, dass keine weiteren Handrechnungen erforderlich sind, weil verfahrensbedingt alle Zustandsgrößen (Biegemomente, Querkräfte, Durchbiegungen, Verdrehungen) in den Knoten, d. h. praktisch im gesamten Träger, berechnet werden.
Aufgrund des numerischen Aufwandes ist die weite Verbreitung der FEM unter Verwendung des Weggrößenverfahrens eng mit der stürmischen Entwicklung leistungsfähiger Computer verbunden. Noch bis etwa 1985 war es eine wichtige Aufgabe, Tragwerke so durch finite Elemente zu modellieren, dass der begrenzte Speicherplatz ausreichte und Rechenzeiten nicht ausuferten. Heutzutage sind derartige Überlegungen nur noch bei außergewöhnlichen Tragwerken und Berechungen von Bedeutung. Andererseits stellt man häufig bei statischen Berechnungen fest, dass mit übertrieben feinen FE-Modellierungen oder ungeeigneten Finiten Elementen „überflüssig viel Papier erzeugt wird“. Wie Bild 1.1 zeigt kann es durchaus sinnvoll sein Einfeldträger mit einem FEM-Programm zu berechnen, weil vom Programm direkt alle Größen für die erforderlichen Nachweise ermittelt werden und man mit geringem Aufwand die entsprechenden Seiten für die statische Berechnung ausdrucken kann.
Als drittes Verfahren ist in der obigen Aufzählung das Übertragungsmatrizenverfahren aufgeführt. Es wird auch Reduktionsverfahren genannt und eignet sich für durchgehende Stabzüge, wie z. B. Durchlaufträger, die auch Knicke enthalten können. Unbekannte des entstehenden Gleichungssystems sind die unbekannten Schnittund Weggrößen am Beginn des Stababzuges (siehe auch Bild 1.1), so dass sich bei Stäben maximal sieben Unbekannte ergeben. Entsprechend gering ist der Bedarf an Speicherplatz und Rechenzeit, was wie bereits oben erwähnt bis etwa 1985 von großer Bedeutung war. Man hat mit dem Übertragungsmatrizenverfahren früher häufig z. B. Vollwandträgerbrücken bemessen, da sich selbst bei Durchlaufträgern über mehrere Felder nur zwei Unbekannte ergeben (Hauptträger, Abtragung der Vertikallasten). EDV-Programme, die das Übertragungsmatrizenverfahren verwenden, sind heutzutage selten. Das Verfahren findet sich aber durchaus in aktuellen FEM-Programmen für Stäbe und Stabwerke, wobei jedoch zuerst mit einer relativ groben Einteilung in Finite Elemente nach dem Weggrößenverfahren gerechnet wird. Anschließend werden die einzelnen Stäbe meist in fünf bis zehn Elemente aufgeteilt und detaillierter mit dem Übertragungsmatrizenverfahren untersucht. Weitere Einzelheiten zum Übertragungsmatrizenverfahren finden sich in Abschnitt 3.13.
1.3 Elementtypen und Anwendungsbereiche
Bei Berechnungen mit der FEM werden Tragwerke durch möglichst zutreffende baustatische Systeme (Stabwerke, Platten, Scheiben usw.) idealisiert und dann in geeigneter Weise in finite Elemente eingeteilt, s. Bild 1.3. Man unterscheidet:
- Linienelemente (gerade oder gekrümmt)
- Flächenelemente (eben oder gekrümmt)
- Volumenelemente (quaderförmig oder mit gekrümmten Oberflächen)
In Bild 1.2 sind entsprechende Elemente beispielhaft dargestellt. Sofern Stäbe oder Stabwerke untersucht werden, kann es in einigen Anwendungsfällen sinnvoll sein, die Stabquerschnitte mit Hilfe der FEM zu untersuchen. Dabei werden je nach Aufgabenstellung
- Linienelemente (gerade oder gekrümmt) oder
- Flächenelemente (viereckig oder dreieckig, gerade oder gekrümmte Ränder) verwendet.
Für die Berechnung von Tragwerken aus Baustahl werden fast ausschließlich Stabelemente verwendet (s. Bild 1.3a), die häufig Bestandteil der folgenden baustatischen Systeme sind:
- einfeldrige und durchlaufende Biegeträger
- Stützen und ebene Rahmen
- ebene und räumliche Fachwerke
- räumliche Stabtragwerke
- Trägerroste
Die hier aufgeführten baustatischen Systeme kommen vornehmlich im Hoch-, Industrie- und Anlagenbau vor. Sie erfordern aufgrund unterschiedlicher Beanspruchungen Stabelemente mit bis zu sieben Verformungsgrößen in den Knoten (Knotenfreiwerte). Auf die Anzahl der erforderlichen Verformungsgrößen pro Knoten wird in den Kapiteln 3 und 5 näher eingegangen.
Stabelemente sind auch für die Berechnung von Brücken die üblichen finiten Elemente. Ob Vollwandträger-, Fachwerkbalken-, Stabbogen- oder Schrägseilbrücken, Flächenelemente (Scheiben, Platten, Schalen) werden nur selten verwendet. Ein wesentlicher Hintergrund dazu ist, dass die aktuellen Vorschriften fast ausschließlich auf die Berechnung mit Stabtragwerken abgestimmt sind. Hinzu kommt, dass die Genauigkeit dieser Berechnungen von Ausnahmen abgesehen völlig ausreichend ist.
Ein durchaus interessanter Verwendungsbereich von finiten Flächenelementen im Stahlbau ist das Plattenbeulen. Bild 1.3b zeigt beispielhaft den Obergurt eines Stabes, der für die Untersuchung des Plattenbeulens in finite Elemente eingeteilt worden ist. Das Thema wird in Kapitel 5 behandelt und ein rechteckiges Plattenelement für die Berechnung von Eigenwerten und Eigenformen hergeleitet. Ansonsten werden Flächenelemente natürlich bei wissenschaftlichen Untersuchungen und Entwicklungen gezielt eingesetzt. Da, wie erwähnt, Flächenelemente nur selten und Volumenelemente praktisch gar nicht im Stahlbau zum Einsatz kommen, soll hier zusammenfassend Folgendes festgehalten werden:
- Tragwerke des Stahlbaus werden fast ausschließlich mit Hilfe von Stabelementen berechnet.
- Es werden unterschiedliche Stabelemente benötigt, damit alle vorkommenden Tragwerks- und Beanspruchungsarten zutreffend berechnet werden können.
Finite Elemente für die Untersuchung von Stabquerschnitten werden in Kapitel 7 behandelt. Als Beispiel dazu ist in Bild 1.3c die FE-Modellierung eines gewalzten I-Querschnitts durch krummlinig berandete Flächenelemente dargestellt.
1.4 Lineare und nichtlineare Berechnungen
Lineare Berechnungen (Theorie I. Ordnung) bilden in der Regel gedanklich und rechnerisch den Ausgangspunkt. Grundlage sind folgende Annahmen:
- Der Werkstoff verhält sich im gesamten Tragwerk linear-elastisch, d. h. es gilt uneingeschränkt das Hookesche Gesetz.
- Der Einfluss von Tragwerksverformungen ist so gering, dass sie vernachlässigt werden können und die Gleichgewichtsbeziehungen am unverformten System formuliert werden dürfen.
- Strukturelle und geometrische Imperfektionen, d. h. Eigenspannungen, Vorkrümmungen und Vorverdrehungen, können vernachlässigt werden.
Nichtlineare Berechnungen erfordern in der Regel einen höheren Aufwand als lineare. Man unterscheidet physikalische und geometrische Nichtlinearitäten. Bei der physikalischen Nichtlinearität wird die Annahme „linear-elastisches Werkstoffverhalten“ aufgegeben und das Plastizieren von Tragwerksteilen berücksichtigt, weil dann wirtschaftlichere, d. h. leichtere Konstruktionen ausgeführt werden können. Sofern das Plastizieren nur bei der Tragfähigkeit der Querschnitte ausgenutzt wird, ist diese Vorgehensweise dem Nachweisverfahren Elastisch-Plastisch in Tabelle 1.1 zuzuordnen. Die Schnittgrößen werden nach der Elastizitätstheorie berechnet („elastische“ Systemberechnung) und maximal ein Lastzustand zugelassen, bei dem sich ein Fließgelenk bildet. Im Gegensatz dazu werden beim Nachweisverfahren Plastisch-Plastisch plastische Tragfähigkeiten der Querschnitte und des Systems ausgenutzt, d. h. es wird die Ausbreitung von Fließzonen oder die Ausbildung mehrerer Fließgelenke zugelassen.Während das physikalisch nichtlineare Werkstoffverhalten überwiegend aus wirtschaftlichen Gründen berücksichtigt wird, muss die geometrische Nichtlinearität bei stabilitätsgefährdeten Stahlkonstruktionen unter Sicherheitsaspekten unabdingbar erfasst werden. Relativ große Verformungen führen dabei zu größeren Schnittgrößen und höheren Beanspruchungen im Vergleich zu linearen Berechnungen, so dass Nachweise zum Biegeknicken, Biegedrillknicken oder Plattenbeulen geführt werden müssen.
Im Zusammenhang mit geometrisch nichtlinearen Berechnungen ist zu erwähnen, dass die Nachweise in den geltenden Vorschriften, wie z. B. DIN 18800 Teil 2, auf einer Linearisierung nach Theorie II. Ordnung basieren. Diese Näherung ist daher die Grundlage für die vorschriftengerechte Ermittlung von Verformungen, Schnittgrößen und Verzweigungslasten (Eigenwerten). In der Regel sind Berechnungen nach Theorie II. Ordnung im Hinblick auf baupraktische Anwendungsfälle ausreichend genau, da die Verformungen bei Tragwerken aus Stahl normalerweise relativ klein sind. In seltenen Ausnahmefällen können jedoch auch genaue geometrisch nichtlineare Berechnungen erforderlich sein. Dies ist immer dann der Fall, wenn große oder sogar sehr große Verformungen auftreten. Beispiele dazu sind Kunstwerke, die sich im Wind bewegen und bei denen sich die Einzelteile stark durchbiegen.
Zusammenfassend soll hier Folgendes festgehalten werden:
- Nach wie vor wird das Nachweisverfahren Elastisch-Elastisch am häufigsten verwendet, s. Tabelle 1.1. Für die Systemberechnungen wird dabei linear-elastisches Werkstoffverhalten angenommen, auf dieser Grundlage Schnittgrößen und Spannungen ermittelt und dann Spannungsnachweise geführt.
- Vermehrt kommt auch das Nachweisverfahren Elastisch-Plastisch zum Einsatz, bei dem die Tragfähigkeit bis zum Erreichen des ersten Fließgelenkes gesteigert werden kann.
- Bei stabilitätsgefährdeten Stahlkonstruktionen wird das geometrisch nichtlineare Problem linearisiert und die Schnittgrößen nach Theorie II. Ordnung berechnet. Diese Linearisierung wird auch bei der Ermittlung von Verzweigungslasten (Eigenwerten) verwendet.
1.5 Bezeichnungen und Annahmen
Im Folgenden werden Bezeichnungen und Annahmen zusammengestellt, die für Stabtragwerke benötigt werden. Teilweise gelten sie auch für Flächentragwerke und die FE-Untersuchung von Querschnitten. Zu diesen Themen werden in den Kapiteln 6 und 7 weitere Bezeichnungen und Annahmen ergänzt. Grundlage für die Bezeichnungen sind DIN 1080 und DIN 18800.
Größen im globalen X-Y-Z-Koordinatensystem
Stabtragwerke werden in Stabelemente eingeteilt, die in den Knoten miteinander verbunden sind. Gemäß Bild 1.2 können auch innerhalb der Stabelemente Knoten angeordnet werden (Zwischenknoten). Knoten werden im globalen X-Y-Z-Koordinatensystem (KOS) durch ihre Koordinaten Xk, Yk und Zk gemäß Bild 1.4 definiert. Darüber hinaus werden auf dieses KOS alle globalen Verformungs- und Lastgrößen in den Knoten bezogen. Aus Gründen der Übersichtlichkeit ist der Index k bei diesen Größen in Bild 1.4 weggelassen worden.
Die Verformungsgrößen im globalen KOS werden durch einen Querstrich gekennzeichnet, der über den Größen steht. Dieser Querstrich wird auch bei Vektoren und Matrizen verwendet, sofern sie für das globale KOS gelten.
Größen in lokalen x-y-z-Koordinatensystemen
Koordinaten, Ordinaten und Bezugspunkte
| x |
Stablängsrichtung im lokalen KOS |
| y, z |
Hauptachsen in der Querschnittsebene (lokales KOS) |
| ω |
normierte Wölbordinate |
| S |
Schwerpunkt |
| M |
Schubmittelpunkt |
Stabelemente werden auf lokale x-y-z-KOS bezogen und als Stabachse die x-Achse durch den Schwerpunkt S definiert. Die Achsen y und z sind die Hauptachsen des Querschnitts. Gemäß Bild 1.5 werden einige Verschiebungs- und Schnittgrößen auf den Schwerpunkt S und andere auf den Schubmittelpunkt M (y = yM, z = zM) bezogen. Für die Wölbkrafttorsion wird eine normierte Wölbordinate co verwendet.
Verschiebungsgrößen
| u, v, w |
Verschiebungen in x-, y- und z-Richtung (lokales KOS) |
| φx = ϑ |
Verdrehung um die x-Achse |
| φy ≅ -w′ |
Verdrehung um die y-Achse |
| φz ≅ v′ |
Verdrehung um die z-Achse |
| ψ ≅ ϑ′ |
Verdrillung der x-Achse |
Lastgrößen
| qx, qy, qz |
Gleichstreckenlasten |
| mx |
Streckentorsionsmoment (konstant) |
| MωL |
Lastwölbbimoment |
Schnittgrößen
| N |
Längskraft, Normalkraft |
| Vy, Vz |
Querkräfte |
| My, Mz |
Biegemomente |
| Mx |
Torsionsmoment |
| Mxp, Mxs |
primäres und sekundäres Torsionsmoment |
| Mω |
Wölbbimoment |
| Mrr |
siehe Tabelle 4.1 |
| Index el: |
Grenzschnittgrößen nach der Elastizitätstheorie |
| Index pl: |
Grenzschnittgrößen nach der Plastizitätstheorie |
| Index d: |
Bemessungswert (design) |
Bei der üblichen Definition positiver Schnittgrößen (Schnittgrößendefinition I) haben die Schnittgrößen an der negativen Schnittfläche Wirkungsrichtungen, die zu den in Bild 1.8 festgelegten Richtungen entgegengesetzt sind. Bei der Schnittgrößendefinition II sind die Wirkungsrichtungen an beiden Schnittflächen wie in Bild 1.8 definiert. Die beiden Schnittgrößendefinitionen sind in Bild 1.9 für einachsige Biegung mit Normalkraft an einem Stabelement dargestellt. Dabei werden, wie bei der FEM üblich, zur Unterscheidung der Stabelemente und Knoten weitere Indizes verwendet.
Spannungen
| σx, σy, σz |
Normalspannungen |
| τxy, τxz, τyz |
Schubspannungen |
| σv |
Vergleichsspannung |
Querschnittskennwerte
| A |
Fläche |
| Iy, Iz |
Hauptträgheitsmomente |
| Iω |
Wölbwiderstand |
| IT |
Torsionsträgheitsmoment |
| Wy, Wz |
Widerstandsmomente |
| Sy, Sz |
statische Momente |
| iM, ry, rz, rω |
Größen für Theorie II. Ordnung und Stabilität, s. Tabelle 4.1 |
Weitere Bezeichnungen und Annahmen
Werkstoffkennwerte (isotroper Werkstoff)
| E |
Elastizitätsmodul |
| G |
Schubmodul |
| ν |
Querkontraktion, Poissonsche Zahl |
| fy |
Streckgrenze |
| fu |
Zugfestigkeit |
| εu |
Bruchdehnung |
Teilsicherheitsbeiwerte
| γM |
Beiwert für die Widerstandsgrößen (material) |
| γF |
Beiwert für die Einwirkungen (force) |
Matrizen und Vektoren
| s |
Schnittgrößenvektor |
| K |
Steifigkeitsmatrix |
| G |
geometrische Steifigkeitsmatrix |
| v |
Verformungsgrößenvektor |
| p |
Lastgrößenvektor |
| Index e: |
Element |
Ein Querstrich über den Matrizen und Vektoren weist daraufhin, dass sie für das globale Koordinatensystem (X, Y, Z) gelten.
Sofern nicht anders angegeben, gelten folgende Annahmen und Voraussetzungen:
- Es wird ein linear-idealplastisches Werkstoffverhalten gemäß Bild 1.11 vorausgesetzt.
- Auftretende Verformungen sind im Sinne der Stabtheorie klein, so dass geometrische Beziehungen linearisiert werden können.
- Die Querschnittsform eines Stabes bleibt bei Belastung und Verformung erhalten.
- Für zweiachsige Biegung mit Normalkraft wird die Bernoulli-Hypothese vom Ebenbleiben der Querschnitte vorausgesetzt und der Einfluss von Schubspannungen infolge von Querkräften auf die Verformungen vernachlässigt (schubstarre Stäbe).
- Bei der Wölbkrafttorsion wird die Wagner-Hypothese vorausgesetzt und der Einfluss von Schubspannungen infolge des sekundären Torsionsmomentes auf die Verdrehung vernachlässigt.
1.6 Grundlegende Beziehungen
Verschiebungen (lineare Stabtheorie)
Wie bei Stäben allgemein üblich sind y und z die Hauptachsen des Querschnitts und ω ist die normierte Wölbordinate, [27]. Die Längsverschiebung uS bezieht sich auf den Schwerpunkt S und die Verschiebungen vM sowie wM beschreiben die Verschiebung des Schubmittelpunktes M. Für die Stablängsverschiebung u eines beliebigen Querschnittspunktes gilt folgende Beziehung:
(1.1)
Der erste Anteil ist die Verschiebung infolge einer Normalkraftbeanspruchung, der zweite und dritte resultiert aus den Biegemomenten und stellt die Verschiebung aufgrund von Querschnittsverdrehungen φy und φz dar. Dabei können mit Gl. (1.1) nur Verschiebungen erfasst werden, bei denen der Querschnitt eben bleibt. Der vierte Anteil erfasst die Stablängsverschiebung aus Torsionsbeanspruchungen in Abhängigkeit von der Verdrillung ψ.
Die Verformungen v und w in der Querschnittsebene ergeben sich aus der Verschiebung des Schubmittelpunktes M sowie aus zusätzlichen Verschiebungsanteilen, die aus der Verdrehung ϑ resultieren:
(1.2)
(1.3)
Verzerrungen
Die Verzerrungen werden durch geometrische Beziehungen mit den Verschiebungsgrößen verknüpft. Nach [27] gelten für die lineare Stabtheorie die nachstehenden Beziehungen, wobei für die Verschiebungen die Gln. (1.1) bis (1.3) berücksichtigt werden. Außerdem gilt mit der Vernachlässigung sekundärer Schubverformungen
(1.4a)
(1.4b, c)
(1.4d)
(1.4e)
(1.4f)
Werkstoffgesetz und Spannungen
Mit dem Werkstoffgesetz wird der Zusammenhang zwischen Spannungen und Verzerrungen beschrieben. Unter Vernachlässigung der Querdehnungen ergeben sich mit dem Hookeschen Gesetz, also dem Materialgesetz für isotropes, linearelastisches Werkstoffverhalten, und den Verzerrungen der Gln. (1.4) folgende Spannungen:
(1.5)
(1.6)
(1.7)
Schnittgrößen
Die Spannungen können zu resultierenden Schnittgrößen zusammengefasst werden. Dabei ist zu beachten, dass die Normalkraft und die Biegemomente im Schwerpunkt angreifen, während die Querkräfte, die Torsionsmomente und das Wölbbimoment im Schubmittelpunkt wirken, vgl. Bild 1.8.
Aufteilung der linearen Theorie schubstarrer Stäbe in vier Teilprobleme
In Tabelle 1.3 sind vier Teilprobleme - zweiachsige Biegung mit Normalkraft und Wölbkrafttorsion - der linearen Theorie schubstarrer Stäbe zusammengestellt. Die Tabelle enthält eine Zuordnung der Lastgrößen, Verformungen und Schnittgrößen sowie Angaben zum Gleichgewicht am Stabelement und zur Normalspannung σx.
1.7 EDV-Programme
Für die Berechnungsbeispiele in dem vorliegenden Buch und für ergänzende Untersuchungen wurden im Wesentlichen folgende Programme angewendet:
- KSTAB
- FE-Rahmen
- Beulen
- QSW-FE
- QSW-FE ML
Hierbei handelt es sich um lehrstuhleigene Programme des Lehrstuhls für Stahl- und Verbundbau der Ruhr-Universität Bochum. Informationen zu KSTAB, FE-Rahmen, Beulen und einer Vielzahl weiterer Programme können [31] entnommen werden, s. a. www.ruhr-uni-bochum.de/stahlbau. Für Hinweise zu den Programmen QSW-FE und QSW-FE ML wird auf [51] verwiesen.
Zu Vergleichszwecken und für weiterführende Untersuchungen sind auch Berechnungen mit den folgenden Programmen durchgeführt worden:
| • RSTAB |
Ing.-Software Dlubal GmbH, Tiefenbach |
| • RFEM |
Ing.-Software Dlubal GmbH, Tiefenbach |
| • SUSI |
CSI GmbH, Dortmund |
| • BT II |
Friedrich + Lochner GmbH, Stuttgart |
| • ESK |
Friedrich + Lochner GmbH, Stuttgart |
| • DRILL |
FIDES DV-Partner GmbH, München |
| • ABAQUS |
ABAQUS, Inc., Providence, Rhode Island, USA |
| • ANSYS |
ANSYS, Inc., Canonsburg, Pennsylvania, USA |
